Matematikteki sonsuzluk ifadesi ilk gördüğümüzde benimsemesi oldukça zor gibi görünen bir olgu. Çünkü insan beyni bir olayın sınırlarını belirlemeye meyilli olduğundan, bir ifadenin sonsuz olmasını kabul edemiyor. Tabi bizim burada bahsedeceğimiz sonsuzluk ifadesinin açıklanmasında, gerçek pozitif sayıların bulunduğu kümeyle ilgileneceğiz. Çünkü Sonsuz Otel Paradoksu, içerisine -1/2, pi gibi sayılar yer almıyor. Yani inceleyeceğimiz kısım 1, 2, 3,……., 100000, ….. gibi pozitif tam sayıların sonsuzluğu olacak.

Başta ifade ettiğim gibi, matematikte anlaması ve kabul etmesi en zor olgulardan birinin sonsuzluk oluşu, 1920’lerden itibaren matematikçileri bu konuyu insan algısına açık hale dönüştürmeye ve algılamanın ne kadar zor bir ifade olduğunu anlatmak için çalışmaya itti. Bu çalışmalardan belki de en başarılı olan bilim insanı ise, Alman matematikçi David Hilbert oldu. Zira kendisi, sonsuzluğu “Sonsuz Otel Paradoksu-Çelişkisi” ismini verdiği bir problemle açıklamayı başardı. Şimdi biz de, sonsuzluğun -ki bu sonsuzluk sayılabilen tam sayıların sonsuzluğu demiştik.-  bu çelişkinin içinde oluşturulan problemlere göz atalım.

David Hilbert

Hayalimizde bir otel oluşturalım. Bu otelin oda sayısı ise sonsuz olsun ve otelin bütün odaları da dolu olsun. Aslında insan beyni sonsuzun dolu olmasını da kabul edemiyor, fakat bize gerçek sonsuzluğu açıklaması açısından böyle bir durumu düşünebiliriz. Bütün odaları dolu olan bu sonsuz otele;

1-Bir gün bir kişi gelip bir oda almak isterse çalışan ona nasıl bir oda verecek?

Cevap çoğunuzun da düşündüğü gibi. Otel odalarındaki her misafiri kendi numarasının bir üstüne taşıyabilir. Yani 1 numaralı odadaki 2, 2 numaradaki 3 numaralı odaya yerleşirse 1 numaralı oda boş kalacak, ve yeni bir müşteriye yer açılacaktır.

Aslına bakarsanız burada da mantık yine aynı. Fakat bu sefer müşterileri 1 oda yukarı değil 40 oda yukarı taşımak gerekiyor. Yani 1 numara 41’e, 2 numara 42’ye… Böylece ilk 40 odayı boşaltmış olduk.

3-Durumu iyice karmaşık bir hale sokuyoruz şimdi. Peki otele uzunluğu ve içindeki yolcu sayısı “sonsuz” olan bir otobüs gelirse otel onlara nasıl yer ayıracak?

Şimdiye kadarki problemlerin çözümü kolaydı. Çünkü yeni gelenlerin sayısı belliydi ve belli bir miktar kaydırma yapınca olayı çözüyorduk. Fakat şu anda sonsuzun içine bir sonsuz daha dahil ediyoruz. Şükürler olsun ki, otel çalışanlarımız matematikten anlıyor ve şöyle bir çözüm buluyor:

Bu sefer, müşterileri oda oda kaydırmak yerine her müşteriyi oda numarasının iki katı numaraya alıyor. Yani 1 numaralı müşteri 2’ye, 4 numaralı müşteri 8’e gibi..

Böylece oteldeki bütün çift sayılı odalar sonsuza kadar doluyken, tek sayılı sonsuz sayılar boş kalıyor ve müşteriler o odalara yerleşebiliyor. Fakat otelin kazancı yine sabit : sonsuz.

4-Son olarak, artık mantık sınırlarını zorluyor David Hilbert. Peki, otelin önüne uzunluğu ve yolcusu sonsuz olan otobüslerden sonsuz tane gelse ve otelde kalmak istese, otel çalışanları yer ayarlayabilir mi?

İlk düşüncemize göre verdiğimiz karar tabii ki de hayır olacaktır. Çünkü mantıken sonsuz olan bir şeyin içine sonsuz ekleyemeyiz. Bu sonsuzluğun çözümü olmaz diye düşünebilirsiniz. Ama otelin çalışanları yine matematiğini konuşturuyor ve bir kuralı uyguluyorlar: “Matematikte sonsuz sayıda asal sayı vardır. -Öklid” Peki bu kuralı böyle bir problemin içine nasıl işlemek gerekiyor?

Aslında yeni müşterileri otele yerleştirmeden önce içerde biraz değişiklik yapmak gerekiyor. Bunu da şu şekilde yapıyorlar: Asal sayıların en küçüğünün 2 olduğunu biliyoruz. Otelin içindeki bütün müşterileri öncelikle oda numarasını 2’nin üssü olacak şekilde yer değiştiriliyor. Yani 1 numaralı odadaki müşteri 2¹, …., 9 numaralı odadaki müşteri 2⁹.odaya gelecek şekilde yer değiştiriliyor. Burada yapılan işlemle otelde boş odalar ayrılıyor.

Şimdi yapılacak işlemler kapıda bekleyen sonsuz sayıdaki sonsuz yolculu otobüslerle alakalı. Bu otobüslerden birincisindeki yolcuları 3, ikincisindeki 5,….., olacak şekilde, yani sırasıyla asal sayı düzeninde yerleştirmeler yapılıyor. Yani ilk otobüsteki birinci yolcu 3¹, ikinci yolcu 3²,…. Numaralı odalara yerleştiriliyor. Aynı işlemler diğer asal sayılı otobüslere de uygulanarak sonsuza kadar yapılıyor.

Böylece bütün müşteriler otele yerleşiyor ve hiçbir oda numarası kesişmiyor. Çünkü asal sayıların bölenleri 1 ve kendileri. Hatta otelde boş oda bile bırakılıyor. Mesela 6 veya 12 numaralı odalar hiçbir asalın üssü olmadığı için boş kalıyor.

Kaynak: ed.ted.com